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Como dice Hofstadter (1987:27), Gödel implanta la paradoja
de Epiménides en el corazón mismo de los Principia, obra
que se tenía por el bastión invulnerable a los ataques de las
paradojas. Gödel señala la fundamental limitación del
método axiomático, pues demuestra que los Principia son
esencialmente incompletos. O sea, que en un conjunto consistente de axiomas
aritméticos existen proposiciones verdaderas que no pueden ser derivadas
del conjunto. Y aún ampliando los axiomas de la aritmética con un
número indefinido de axiomas verdaderos, siempre quedarán verdades
aritméticas no derivables del conjunto ampliado. Gödel
demostró también que es imposible presentar una prueba
metamatemática de la consistencia de un sistema que contenga toda la
aritmética. Para ello procedió construyendo la formula
aritmética G en forma análoga a la paradoja de Richard,
esto es una prueba metamatemática pero muestra también que G es
demostrable si y sólo si es demostrable su negación formal (g
º -g). Si una fórmula y su negación
son ambas formalmente demostrables, el cálculo aritmético no es
consistente. Si en cambio, G y -G son derivables, la aritmética es
consitente, pero G pasa a ser una fórmula indecidible. Gödel
demosttró que aunque G no sea demostrable es una fórmula
aritmética verdadera. Y puesto que, G es al mismo tiempo verdadera e
indecidible, los axiomas de la aritmética son incompletos.
En síntesis, en palabras de Tarsky (1951: 149), el
lógico austríaco Kurt Gödel ha demostrado que "nunca
se logrará construir una disciplina deductiva completa y exenta de
contradicción que contenga entre sus enunciados todas las proposiciones
ciertas de la Aritmética y de la Geometría". Con sus
modestas 11 hojas Gödel ha desbaratado el monumental edificio de los
Principia Mathematica edificado por Russell y Whitehead sobre la
teoría de los tipos. El argumento del lógico austriaco demuestra
que el punto de vista del formalismo estricto (Hilbert) es insostenible. Un
sistema no puede ser completo y consistente a la vez.
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Consiga Lógica y argumentación de Elizabeth Beatriz Ormart en esta página.
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