Un sistema axiomático es completo cuando todas
las proposiciones verdaderas que puedan expresarse en el sistema son formalmente
deducibles de sus axiomas.
Refiriéndose a estas dos propiedades dice Tarski
"..... consideraríamos ideal una disciplina de esta
clase si contuviese como teoremas todas las proposiciones ciertas del dominio
propuesto y ni una sola falsa. Cuando decimos 'proposiciones del dominio
propuesto', pensamos en proposiciones formuladas exclusivamente con
términos de lo disciplina considerada y de sus precedentes; no se puede
exigir, por ejemplo, que en la Aritmética puedan fundamentarse todas las
proposiciones ciertas, incluso aquellas en que figuren conceptos de la
Química a de la biología.
"Una disciplina deductiva no realiza nuestro ideal si no
es al mismo tiempo falta de contradicción y completa (con lo cual no
decimos en absoluto que toda disciplina completa y falta de contradicción
realice dicho ideal; esto es, que contenga todos los enunciados ciertos del
dominio propuesto y sólo éstos)". (TARSKY,1951:
147/148)
Un sistema axiomático es decidible cuando existe
para él un procedimiento mecánico (algoritmo) que permita
establecer unívocamente si una expresión de dicho sistema es o no
deducible de él. En cambio, será indecidible si existen
fórmulas que pertenecen al sistema y de las cuales no pueda darse una
prueba que nos diga si es un axioma o un teorema del sistema. El esfuerzo de
Hilbert por producir un lenguaje depurado de equívocos y
ambigüedades va de la mano de la propuestas de los Principia.
