El tercer período está marcado por el
Tractus logico-philosophicus de Wittgenstein publicado en
1918, que da origen a dos movimientos: a) el perfeccionamiento de los
métodos formales y, b) el surgimiento de las lógicas no
clásicas, o polivalentes, en las que se recogen los aportes de
Luckasiewicz y Post. Aquí ubicamos, la lógica intuicionista de
Brouwer, sistematizada por Heyting y la lógica modal con los trabajos de
Lewis.
Con Hilbert creador del formalismo, se intensifica el
análisis de las propiedades formales exigibles a los sistemas deductivos.
Se crea la distinción entre lógica y metalógica,
distinguiendo lenguaje objeto de metalenguaje como el instrumento eficaz contra
las paradojas de la auto referencia. Hilbert se proponía axiomatizar la
aritmética y en tanto que la aritmética quedara formulada a modo
de sistema axiomático, ella debería cumplir con las propiedades de
estos sistemas, a saber, consistencia, completud, decidibilidad, independencia y
satisfacibilidad. Analizaremos aquí brevemente las tres primeras.
Un sistema axiomático es consistente (o
compatible, o falto de contradicción) cuando el conjunto de sus axiomas
no conduce, por deducción lógica, a una contradicción. Es
decir, cuando dadas dos expresiones del sistema, contradictorias entre
sí, una al menos de ellas no puede demostrarse en el sistema. Por el
"principio de no-contradicción", dos proposiciones
contradictorias 'A' y '~A', no pueden ser ambas verdaderas; por
consiguiente, no pueden ser ambas demostrables.
